摘要
在学习数字图像处理这门课时发现之前对傅里叶变换理解的不够透彻，通过查找资料以及不断地对知识进行回溯，诞生了写下这篇博客的想法。
本文用来梳理学习数学过程中遇到的各种问题。仅是自己的学习的总结，由于精力有限，本文引用了大量的博客，在此先感谢大佬们的无偿奉献。本文暂时只贴上各知识点对应的网站，以后会慢慢加上一些自己的理解和总结。
数学的起源
极限
泰勒公式
$sinx$ , $cosx$ , $e^x$ 的泰勒展开
欧拉公式
傅里叶分析
从傅里叶级数到傅里叶变换
在此贴上推导过程
三角函数系的正交性
\[\int_{-\pi}^{\pi}coskx\cdot cosnx \: dx = 0 \qquad (k,n=1,2...,k \neq n)\]$Proof$ : \(\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}coskx\cdot cosnx \: dx &= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}cos(k+n)x + cos(k-n)x \: dx \\ &= \frac{1}{2}[\frac{sin(k+n)x}{k+n}+\frac{sin(k-n)x}{k-n}]_{-\pi}^{\pi} \\ &= 0 \end{align*}\) 同理可证： \(\begin{align*} &\int_{-\pi}^{\pi} \sin k x \sin n x \mathrm{d} x=0 \quad (k \neq n) \\ &\int_{-\pi}^{\pi} \cos k x \sin n x \mathrm{d} x=0 \quad (k \neq n) \end{align*}\)
傅里叶级数的系数
\[f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_kcoskx+b_ksinkx)\]求$a_0$ ，对 $f(x)$ 做积分： \(\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos kxdx+b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin kxdx) \\ &= \frac{a_0}{2}\cdot 2\pi \\ &= a_0\pi \end{align*}\) 所以 ： \(a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\) 求$a_k$ ，对 等式两边同乘 $coskx$ 并积分: \(\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos k x \mathrm{d} x &=\frac{a_{0}}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos k x \mathrm{d} x + {\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos k x \cos n x \mathrm{d} x+b_{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos k x \sin n x \mathrm{d} x\right]} \\ &=a_{k} \int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2} k x \mathrm{d} x\\ &=a_{k} \pi \end{align*}\) 所以 \(a_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos k x \mathrm{d} x \quad(k=1,2, \cdots)\) 同理 \(b_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin k x \mathrm{d} x \quad(k=1,2, \cdots)\) 把 $a_0$ 并到一起有： \(\begin{aligned} f(x) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) \\ a_{n} &=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{d} x \quad(n=0,1, \cdots) \\ b_{n} &=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{d} x \quad(n=1,2, \cdots) \end{aligned}\) 傅里叶级数的余弦形式： \(f(x)=c_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} c_{n} \cos \left(n w x+\theta_{n}\right)\) 其中 \(\begin{array}{c}{c_{0}=\frac{a_{0}}{2} \quad c_{n}=\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \\ {a_{n}=c_{n} \cos \theta_{n} \quad b_{n}=-c_{n} \sin \theta_{n} \quad \theta_{n}=\arctan \frac{-b_{n}}{a_{n}}}\end{array}\)
傅里叶变换
傅里叶级数展开成 \(f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos (n w x)+b_{n} \sin (n w x)\right)\) 有欧拉公式 \(e^{j n w x}=\cos (n w x)+j \sin (n w x)\)
\[\begin{aligned} \cos (n w x) &=\frac{1}{2}\left(e^{j n w x}+e^{-j n w x}\right) \\ \sin (n w x) &=\frac{1}{2 j}\left(e^{j n w x}-e^{-j n w x}\right) \end{aligned}\]所以 \(f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{a_{n}-j b_{n}}{2} e^{j n w x}+\frac{a_{n}+j b_{n}}{2} e^{-j n w x}\right\}\) 令 \(F(n w)=\frac{a_{n}-j b_{n}}{2} \\ F(-n w)=\frac{a_{n}+j b_{n}}{2}\) 有 \(\sum_{n=1}^{\infty} F(-n w) e^{-j n w x}=\sum_{n=-1}^{-\infty} F(n w) e^{j n w x}\) 其中 \(F_{n}=\frac{a_{n}-j b_{n}}{2}\) 所以 \(\begin{align*} F_{n}&=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(x)(\cos n w x-j \sin n w x) d x \\ &= \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(x) e^{-j n w x} d x \end{align*}\)
\[\left|F_{n}\right|=\frac{1}{2}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \quad \theta_{n}=\arctan \frac{-b_{n}}{a_{n}}\]